• Предисловие8
• Основные обозначения15

Глава I
Однопараметрические группы преобразований
• § 1. Определения и примеры18
        1. Действие и представление группы (18).
        2. Однопараметрическая группа (19).
        3. Непрерывность (19).
        4. Пример: группа переносов (20).
        5. Группы линейных гомеоморфизмов (20).
        6. Пример: группа растяжений (21).
        7. Пример: группа вращений (21).
        8. Локальная теория (22).
        9. Локальная группа Ли (23).
        10. Пример: проективная группа (23).
        11. Подобие групп (24).
        12. Пример (24).
        13. Касательное векторное поле (25).
        14. Уравнение Ли (25).
        15. Примеры (26).
        16. Подобие касательных полей (27).
• § 2. Инфинитезимальный оператор28
        1. Задача о построении группы (28).
        2. Лемма (28).
        3. Теорема Ли (29).
        4. Пример построения группы (30).
        5. Соответствие групп и векторных полей (30).
        6. Оператор группы (31).
        7. Примеры (32).
        8. Инвариантность оператора (32).
• § 3. Инварианты и инвариантные многообразия34
        1. Продолжение представления группы (34).
        2. Конкомитанты и инварианты (34).
        3. Инварианты группы Ли (34).
        4. Критерий инварианта (35).
        5. Универсальный инвариант (35).
        6. Конечномерный случай (38).
        7. Примеры инвариантов (39).
        8. Теорема о подобии (41).
        9. Следствия (42).
        10. Инвариантные многообразия (43).
        11. Регулярно заданные многообразия (44).
        12. Критерий инвариантности (45).
        13. Примеры (46).
• § 4. Теория продолжения47
        1. Пространства полилинейных отображений (47).
        2. Продолжения пространства (48).
        3. Продолжение операторов дифференцирования (48).
        4. Продолжение отображений (49).
        5. Продолжение преобразования (50).
        6. Основное свойство продолжения (52).
        7. Продолжение группы (54).
        8. Продолжение инфинитезимального оператора (55).
        9. Стандартные коммутаторы (56).
        10. Конечномерный случай (58).
        11. Пример (58).
        12. Дифференциальные инварианты (59).
• Литература к главе I60

Глава II
Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями
• § 5. Определяющие уравнения63
        1. Система дифференциальных уравнений (63).
        2. Основное определение (64).
        3. Условие инвариантности (64).
        4. Определяющие уравнения (66).
        5. Основная группа (67).
        6. Действие на решениях (68).
        7. Производство решений (69).
        8. Алгоритм (69).
        9. Пример (71).
• § 6. Задача групповой классификации75
        1. Общие соображения (75).
        2. Преобразования уравнения (76).
        3. Произвольный элемент (77).
        4. Преобразования эквивалентности (78).
        5. Задача классификации (80).
        6. Описание процесса решения (81).
        7. Пример: нелинейная теплопроводность (82).
        8. Случай линейного уравнения (86).
• § 7. Алгебра Ли операторов87
        1. Коммутатор (87).
        2. Действие на отображение (87).
        3. Алгебраические свойства (88).
        4. Определения (89).
        5. Структурный тензор (89).
        6. Линейные отображения алгебр Ли (90).
        7. Критерий изоморфизма (91).
        8. Пример (92).
        9. Инвариантность относительно подобия (93).
        10. Групповой коммутатор (94).
        11. Допускаемые операторы (95).
        12. Продолжение коммутатора (96).
        13. Допускаемые алгебры Ли (98).
        14. Линейные уравнения (99).
        15. Абстрактные определяющие уравнения (101).
• Литература к главе II102

Глава III
Основные группы конкретных систем уравнений
• § 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения104
        1. Система уравнений первого порядка (104).
        2. Определяющие уравнения (104).
        3. Анализ общего решения (105).
        4. Структура основной алгебры Ли (106).
        5. Понижение размерности уравнения (107).
        6. Примеры (108).
        7. Уравнения высших порядков (109).
        8. Уравнение второго порядка (110).
        9. Полные системы (113).
        10. Заключительные замечания (115).
• § 9. Линейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными116
        1. Постановка задачи (116).
        2. Инварианты Лапласа (117).
        3. Ряд Лапласа (118).
        4. Определяющие уравнения (120).
        5. Анализ общего решения (122).
        6. Классификационная теорема (123).
        7. Параболическая нормальная форма (125).
        8. Классификация параболических форм (126).
        9. Классификационный результат (128).
• § 10. Уравнения пограничного слоя129
        1. Описание системы уравнений (129).
        2. Предварительная информация об операторе (129).
        3. Определяющие уравнения (130).
        4. Общее решение (131).
        5. Случай заданного давления (131).
        6. Групповая классификация (132).
        7. Стационарный пограничный слой (137).
        8. Групповая классификация (138).
• § 11. Уравнения газовой динамики139
        1. Описание системы уравнений (139).
        2. Определяющие уравнения (140).
        3. Ядро основных алгебр Ли (141).
        4. Предварительный анализ (142).
        5. Групповая классификация (143).
        6. Сводка результатов (146).
• Литература к главе III146

Глава IV
Теория Ли
• § 12. Локальная группа Ли150
        1. Определения (150).
        2. Свойства умножения (151).
        3. Локальный изоморфизм (152).
        4. Уравнение и первая теорема Ли (154).
        5. Каноническое умножение (156).
        6. Канонический изоморфизм (158).
        7. Гомоморфизмы канонических групп (160).
        8. Вторая теорема Ли (161).
        9. Структурный оператор (162).
        10. Банахова алгебра Ли (164).
        11. Определенность группы ее структурным оператором (165).
        12. Третья теорема Ли (166).
        13. Пример (169).
        14. Аналитичность канонического умножения (170).
        15. Ряд Шура-Кэмпбэлла-Хаусдорфа (173).
        16. Конечномерный случай (175).
• § 13. Алгебры Ли177
        1. Определения и примеры (177).
        2. Структурные константы (178).
        3. Гомоморфизмы (178).
        4. Подалгебры (179).
        5. Факторалгебра (181).
        6. Структурные признаки подалгебр (182).
        7. Некоторые классы алгебр Ли (183).
        8. Радикал (184).
        9. Теорема Леви (185).
• § 14. Присоединенная алгебра185
        1. Алгебра дифференцирований (185).
        2. Естественный гомоморфизм (186).
        3. Представление алгеброй Ли операторов (187).
        4. Внутренние автоморфизмы (188).
        5. Форма Киллинга (190).
        6. Структурные свойства (191).
        7. Оптимальные системы подалгебр (191).
        8. Малые размерности (193).
        9. Пример (196).
• § 15. Соответствие групп и алгебр Ли199
        1. Алгебра Ли группы Ли (199).
        2. Подгруппы и подалгебры (201).
        3. Нормальные делители и идеалы (202).
        4. Центры (204).
        5. Факторгруппы и факторалгебры (205).
        6. Гомоморфизмы (206).
        7. Группы внутренних автоморфизмов (207).
        8. Оптимальные системы подгрупп (209).
• § 16. Группы Ли преобразований210
        1. Определение (210).
        2. Касательное отображение (212).
        3. Критерий точности представления (213).
        4. Первая теорема Ли (214).
        5. Вторая теорема Ли (215).
        6. Третья теорема Ли (216).
        7. Каноническая группа второго рода (217).
        8. Примеры (219).
        9. Подобие групп преобразований (220).
        10. Транзитивность (221).
        11. Подобие просто транзитивных групп (223).
        12. Группы Ли, допускаемые дифференциальными уравнениями (225).
• Литература к главе IV225

Глава V
Инвариантные решения
• § 17. Инварианты группы преобразований228
        1. Определение и критерий инварианта (228).
        2. Полные семейства векторных полей (229).
        3. Универсальный инвариант группы (232).
        4. Инварианты внутренних автоморфизмов (234).
        5. Примеры (235).
        6. Инварианты расширений (236).
• § 18. Инвариантные многообразия238
        1. Определение (238).
        2. Критерий инвариантности (239).
        3. Индуцированная группа (240).
        4. Индуцированная алгебра Ли (241).
        5. Наименьшие инвариантные многообразия (242).
        6. Особые инвариантные многообразия (243).
        7. Теорема о представлении (244).
        8. Ранг неособого инвариантного многообразия (245).
        9. Пример (246).
• § 19. Инвариантные решения уравнений247
        1. Сводка исходных понятий (247).
        2. Определение (248).
        3. Необходимые условия (249).
        4. Проекции (251).
        5. Продолжение инвариантного многообразия (252).
        6. Теорема существования (254).
        7. Факторсистема (255).
        8. Случай разделения переменных (256).
        9. Примеры (257).
        10. Группы растяжений (258).
        11. Теория размерностей (261).
        12. Автомодельные решения (264).
• § 20. Классификация инвариантных решений266
        1. Классификация по рангу (266).
        2. Орбиты решений (267).
        3. Существенно различные решения (267).
        4. Свойство факторсистемы (269).
        5. Оптимальные системы решений (269).
        6. Пример (270).
• Литература к главе V272

Глава VI
Частичная инвариантность
• § 21. Ранг и дефект многообразия275
        1. Орбита многообразия (275).
        2. Ранги дефект (276).
        3. Вычисление дефекта (277).
        4. Переход к подгруппе (278).
        5. Редукция (279).
        6. Существенные параметры (280).
• § 22. Частично инвариантные решения282
        1. Необходимые условия (282).
        2. Описание алгоритма (283).
        3. Типы частично инвариантных решений (285).
        4. Пример (286).
        5. Проблема редукции (287).
        6. Лемма о ранге (288).
        7. Теорема о редукции (290).
        8. Примеры (292).
• § 23. Кратные волны293
        1. Квазилинейные системы (293).
        2. Решения типа «бегущих волн» (294).
        3. Допускаемая группа (296).
        4. Подгруппы и их инварианты (296).
        5. Простые волны (298).
        6. Пример волнового уравнения (301).
        7. Двойные волны (301).
        8. Пример (305).
        9. Уравнения газовой динамики (306).
• Литература к главе VI308

Глава VII
Дифференциальные инварианты
• § 24. Общая теория311
        1. Предварительные соображения (311).
        2. Инвариантное дифференцирование (313).
        3. Примеры (316).
        4. Базис инвариантов (317).
        5. Примеры базисов (319).
        6. Определяющие уравнения данной группы (320).
        7. О бесконечных группах Ли (322).
        8. Инварианты бесконечных групп (324).
        9. Примеры (326).
• § 25. Автоморфные системы328
        1. Определение (328).
        2. Структура автоморфной системы (328).
        3. Построение автоморфных систем (330).
        4. Классификация автоморфных систем (332).
        5. Пример (333).
• § 26. Групповое расслоение334
        1. Постановка вопроса (334).
        2. Существование группового расслоения (335).
        3. Дифференциально-инвариантные решения (336).
        4. Пример расслоения (337).
• Литература к главе VII338

Глава VIII
Специальные задачи
• § 27. Линейное уравнение второго порядка340
        1. Уравнение и его преобразования (340).
        2. Условие инвариантности (341).
        3. Определяющие уравнения (344).
        4. Ассоциированное риманово пространство (346).
        5. Некоторые формулы римановой геометрии (347).
        6. Ковариантная форма определяющих уравнений (349).
        7. Инварианты уравнения (351).
        8. Группы движений (352).
        9. Случай группы максимального порядка (353).
        10. Группы, допускаемые стандартными уравнениями (355).
• § 28. Касательные преобразования357
        1. Специальное расширение пространства (357).
        2. Основное определение (357).
        3. Представление инфинитезимального оператора (359).
        4. Приложения (361).
        5. Продолжение касательных преобразований (363).
        6. Касательные преобразования высших порядков (364).
        7. Группы Ли-Бэклунда (365).
• § 29. Краевые задачи367
        1. Общие соображения (367).
        2. Системы первого порядка (368).
        3. Инвариантные решения задачи Коши (369).
        4. Инвариантность характеристик (371).
        5. Инвариантность сильного разрыва (373).
        6. Уравнения Навье-Стокса (375).
        7. Задачи со свободной границей (376).
• § 30. Законы сохранения377
        1. О законах сохранения (377).
        2. Инвариантность функционала (378).
        3. Основная лемма (380).
        4. Теорема Нетер (382).
        5. Другие законы сохранения (383).
        6. Обращение теоремы Нетер (384).
        7. Пример (385).
• Литература к главе VIII386
• Приложение. Таблицы вычисленных основных групп389

Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 399 с. — Библиогр. в конце глав. || Шифр: В16-О.345 НО