От редакторов ................................................... 5 Предисловие автора .............................................. 7 Глава I Общие понятия ................................................... 9 § 1. Отношения и отображения ................................ 9 Множества (9). 1.2. Отношения (16). 1.3. Отображения (20). 1.4. Эквивалентности (23). 1.5*. Частичные линейные порядки (30). 1.6. Многозначные и частичные отображения (32). 1.7*. Мощности и порядковые числа (35). Примеры и дополнения .................................. 41 § 2. Модели и алгебры ...................................... 42 2.1. n-арные отношения и функции (42). 2.2. Алгебраические системы (46). 2.3. Подсистемы. Порождающие совокупности (53). 2.4. Конгруенции (60). 2.5. Декартовы произведения (70). 2.6*. Операции над кардинальными и порядковыми числами (84). Примеры и дополнения ................................. 88 Глава II Классические алгебры ........................................... 89 § 3. Группоиды и группы .................................... 89 3.1*. Группоиды и полугруппы (89). 3.2. Квазигруппы и лупы (95). 3.3. Группы (97). Примеры и дополнения ................................. 105 § 4. Кольца и тела ........................................ 106 4.1. Кольца (106). 4.2*. Алгебраически замкнутые поля (113). 4.3. Альтернативные тела (119). 4.4. Линейные алгебры (122). Примеры и дополнения ................................. 128 § 5. Решетки (структуры) .................................. 129 5.1. Решетки (129). 5.2. Модулярные и дистрибутивные решетки. Алгебры Буля (133). Глава III Языки первой и второй ступени ................................. 138 § 6. Синтаксис и семантика ................................ 138 6.1. Термы (138). 6.2. Формулы (146). 6.3. Свойства 2-й ступени (154). 6.4. Элементарные теории и аксиоматируемые классы (160) *Примеры и дополнения ................................ 163 § 7. Классификация формул ................................. 164 7.1. ∀-формулы и ∃-формулы (164). 7.2. Универсально аксиоматизируемые подклассы (171). 7.3. ∀∃- и ∃∀-формулы (176). 7.4. Позитивные формулы (180). 7.5. Мултипликативно устойчивые формулы (183). Глава IV Произведения и полные классы .................................. 193 § 8. Фильтры и фильтрованные произведения ................. 193 8.1. Фильтры и ультрафильтры (193). 8.2. Ультрапроизведения (197). 8.3. Некоторые применения ультрапроизведений (207). 8.4. Условно фильтрующиеся формулы (213). 8.5. Мощности ультрапроизведений (218). 8.6*. Регулярные произведения (225). Примеры и дополнения ................................. 233 § 9. Неотличимость и элементарная вложимость .............. 235 9.1. Элементарные вложения (235). 9.2. Элементарные подсистемы (243) § 10. Полнота и модельная полнота ......................... 248 10.1. Полные совокупности формул (249). 10.2. Модельная полнота (256). Примеры и дополнения ................................ 266 Глава V Квазимногообразия ............................................. 267 § 11. Общие свойства ...................................... 267 11.1. Характеристические свойства (267). 11.2. Определяющие соотношения (275). 11.3. Реплики (289). *Примеры и дополнения .............................. 299 § 12. Свободные системы и композиции ...................... 299 12.1. Свободные композиции (299). 12.2. Независимые элементы и свободные системы (312). 12.3. Амальгамированные композиции (322). Примеры и дополнения ................................ 335 Глава VI Многообразия .................................................. 337 § 13. Общие свойства ...................................... 337 13.1. Структурные характеристики (337). 13.2. Ранги многообразия (343). 13.3. Многообразия уноидов (348). *Примеры и дополнения ............................... 356 § 14. Примитивные замыкания ............................... 357 14.1. Порождающие системы (357). 14.2. Решетка многообразий (365). 14.3. Минимальные многообразия и квазимногообразия (372). *Примеры и дополнения ............................... 381 Литература .................................................... 384 Предметный указатель .......................................... 388