Список обозначений .............................................. 8
Введение ....................................................... 11

Глава 1. Математические и эмпирические основы моделирования
феноменов случайности и нечеткости в научных исследованиях ..... 16
Введение ....................................................... 16
1.1  Вероятность, возможность, необходимость ................... 18
     1.1.1. Проблемы эмпирического восстановления и
            интерпретации вероятности .......................... 19
     1.1.2. Возможность как мера относительной
            предопределенности исходов СТ. Э. Классы
            эквивалентных возможностей ......................... 20
     1.1.3. Шкалы    значений возможности и необходимости.
            Возможность и необходимость события. Нечеткая
            модель ............................................. 22
     1.1.4. Принцип относительности ............................ 25
1.2  Эмпирические основы. Стохастические модели возможности и
     необходимости ............................................. 26
     1.2.1  Возможность и необходимость, максимально
            согласованные с вероятностью ....................... 26
     1.2.2  Соответствие между классами r(℮) нечетко
            эквивалентных вероятностей и классами (℮), (℮)
            эквивалентных возможностей, необходимостей,
            ℮ ϵ (0, 1) ......................................... 27
     1.2.3. Необходимость, максимально согласованная с
            вероятностью ....................................... 28
     1.2.4. Событийно-частотная интерпретация
            Рr1-,..., Рrk-измеримых возможности и 
            необходимости ...................................... 33
     1.2.5. Нечеткое моделирование вероятностной случайности ... 34
1.3  Математические основы теории возможностей ................. 35
     1.3.1. р- и n-интегралы, Р- и N-меры ...................... 35
     1.3.2. Соответствия между классами нечетко эквивалентных
            математических ожиданий и классами взаимно
            эквивалентных р- и n-интегралов .................... 37
     1.3.3. Множества Р-меры ноль и N-меры единица ............. 39
     1.3.4. Нечеткий элемент, нечеткое множество ............... 40
     1.3.5. Независимость нечетких множеств и нечетких
            элементов .......................................... 41
     1.3.6. Условные и переходные возможность и
            необходимость ...................................... 42
1.4  Сходимости последовательности нечетких элементов.
     Предельные теоремы ........................................ 44
     1.4.1  Сходимости по необходимости и по возможности ....... 45
     1.4.2  Сходимости с необходимостью единица и с
            возможностью единица ............................... 48
     1.4.3  Сходимость по распределению ........................ 49
     1.4.4  Предельные теоремы для второго варианта теории
            возможностей ....................................... 54
1.5  Гранулирование ............................................ 56
     1.5.1  Возможность, максимально согласованная с
            вероятностью на σ-алгебре. Гранулирование Ω ........ 56
     1.5.2  Возможность, максимально согласованная с
            абсолютно непрерывной вероятностью ................. 58
     1.5.3  Гранулирование n .................................. 59
1.6  Отношения согласованности P- и N-мер, р- и n-интегралов ... 60
     1.6.1  Согласованность мер P(•) и  N(•) и интегралов р(•)
            и n(•) ............................................. 60
     1.6.2  Свойства отношений согласованности P(•) и  N(•) .... 62
     1.6.3  Согласованность возможности и необходимости
            покрытия нечеткого элемента нечетким множеством .... 64
1.7  Классы возможностей * и вероятностей r* и их
     когерентные разбиения ..................................... 67
     1.7.1. Матричное представление упорядоченности
            распределения ...................................... 67
     1.7.2. Когерентные разбиения классов * и r* ............ 71
     Заключение ................................................ 73

Глава 2.  Приложения методов математического моделирования
феноменов случайности и нечеткости в научных исследованиях ..... 75
Введение ....................................................... 75
2.1. Оптимальные решения ....................................... 76
     2.1.1. Модели НО. НЧ. О. и правил идентификации ........... 76
     2.1.2. Минимизация возможности риска) потерь .............. 78
       2.1.2.1. Сравнение качеств возможностной и
                вероятностной оптимизаций ...................... 81
     2.1.3. Минимизация необходимости потерь ................... 82
     2.1.4. Модели НЧ. О. и правил решения в задачах
            оценивания ......................................... 84
     2.1.5. Правило оценивания, минимизирующее возможность
            потерь ............................................. 85
     2.1.6. Правило оценивания, минимизирующее необходимость
            потерь ............................................. 87
     2.1.7. Критерий качества оценивания, основанный на
            минимизации возможности больших ошибок и
            максимизации возможности малых ошибок .............. 88
     2.1.8. О минимаксном оценивании ........................... 91
     2.1.9. Байесовский принцип ................................ 92
     2.1.10. Задача идентификации как задача различения
            гипотез ............................................ 94
     2.1.11. Алгоритм последовательной идентификации ........... 96
2.2  Экспертное построение возможности ......................... 97
     2.2.1. Построение распределения нечеткого элемента путем
            парных сравнений возможностей его значений ......... 98
     2.2.2. Построение распределения нечеткого элемента путем
            упорядочения возможностей его значений ............ 105
2.3  Статистическое моделирование возможности и нечеткого
     элемента ................................................. 107
2.4  Вероятностная и возможностные модели матричных игр двух
     субъектов ................................................ 112
     2.4.1. Вероятностная модель матричной игры двух
            субъектов с нулевой суммой ........................ 112
     2.4.2. Геометрическая интерпретация игры. Минимаксные и
            максиминные стратегии игроков В и А ............... 115
     2.4.3. Интерпретация игры в терминах теории линейного
            программирования .................................. 118
     2.4.4. Возможностная модель матричной игры двух
            субъектов ......................................... 119
     2.4.5. Максиминная стратегия игрока А .................... 121
     2.4.6. Минимаксная стратегия игрока В .................... 123
     2.4.7. Геометрическая интерпретация игры ................. 125
     2.4.8. Рандомизация нечеткой стратегии игры .............. 126
     2.4.9. Возможностная модель биматричной игры двух
            субъектов ......................................... 130
2.5  Анализ и интерпретация данных измерительного
     эксперимента ............................................. 133
     2.5.1. Редукция измерения при априори произвольном
            измеряемом сигнале ................................ 133
     2.5.2. Редукция измерения при нечеткой априорной
            информации об измеряемом сигнале .................. 136
2.6  Редукция измерения методом линейного программирования .... 140
2.7  Редукция измерения методом минимизации ошибки ............ 143
     2.7.1. Минимаксная редукция .............................. 143
     2.7.2. Минимаксная редукция измерения для интервальной
            модели [,,] .................................. 145
     2.7.3. Линейное прогнозирование .......................... 147
     2.7.4. Комбинирование данных независимых измерений ....... 149
2.8  Нечеткие множества в модели наблюдений и их регистрации .. 152
Заключение .................................................... 156

Глава 3. Математические и эмпирические основы субъективного
моделирования в научных исследованиях ......................... 158
Введение ...................................................... 158
3.1. Математические основы .................................... 160
     3.1.1. Меры правдоподобия Pl и доверия Bel.
            Неопределенный элемент  .......................... 160
     3.1.2. Неопределенный элемент как неопределенная
            высказывательная переменная ....................... 160
     3.1.3. Группа Г автоморфизмов шкал  и  и группа 
            изоморфизмов. Принцип относительности ............. 161
     3.1.4. Правдоподобия и доверия истинности характеристик
            объекта исследования, обусловленных его
            субъективной моделью .............................. 163
     3.1.5. Субъективные модели «абсолютного незнания» и
            «точного знания» .................................. 164
     3.1.6. Интегрирование относительно мер правдоподобия и
            доверия; pl- и bel-интегралы ...................... 165
     3.1.7. Субъективная независимость ........................ 166
     3.1.8. Условные субъективные распределения и меры ........ 169
     3.1.9. Другие варианты мер правдоподобия и доверия ....... 171
       3.1.9.1. Варианты мер правдоподобия и доверия,
                значения которых, отличные от 0 и 1, могут
                быть содержательно интерпретированы ........... 171
       3.1.9.2. Второй и третий варианты мер правдоподобия,
                доверия ....................................... 173
3.2  Эмпирические основы, ассоциированные с неопределенными
     стохастическими объектами ................................ 175
     3.2.1. Неопределенный случайный элемент как субъективно
            охарактеризованный м.-и. неизвестный параметр
            стохастической модели ОБ. И. ...................... 175
     3.2.2. Оптимальные значения неопределенного элемента ..... 178
3.3  Случайный неопределенный элемент как статистическая
     оценка неизвестного параметра стохастической модели
     ОБ. И .................................................... 179
     3.3.1. Стохастическая модель ОБ. И. охарактеризована
            условиями Н(х) = {х}, К(х) = {х'(х)} ≠ {х},
            х ϵ X ............................................. 180
     3.3.2. Стохастическая модель ОБ. И. охарактеризована
            условиями Н(х) = {х}, К(х)  Х\{х}, х ϵ Х ......... 186
3.4  Согласие субъективной модели ОБ. И. и эмпирических
     данных наблюдений за ним ................................. 188
     3.4.1. Согласие неопределенного элемента ,
            предложенного м.-и., с его статистической
            оценкой (ω(n)) ................................... 188
     3.4.2. Правдоподобие истинности неопределенного
            высказывания, согласно которому модель но. э. 
            согласуется с данными ω(n) наблюдений за ОБ. И. ... 189
3.5  Эмпирические основы субъективного моделирования,
     ассоциированного с неопределенными нечеткими объектами ... 190
     3.5.1. Неопределенный нечеткий и нечеткий
            неопределенный элементы и их свойства ............. 190
     3.5.2. Нечеткий неопределенный элемент как эмпирическая
            оценка неизвестного параметра нечеткой модели
            ОБ. И. ............................................ 193
     3.5.3. Согласованность субъективных и эмпирических,
            нескольких субъективных и т. п. данных и их
            комбинирование .................................... 196
     3.5.4. Нечеткое правдоподобие истинности
            неопределенного высказывания, согласно которому
            субъективная модель неопределенного элемента 
            согласуется с данными наблюдений за ОБ. И. ........ 199
Заключение .................................................... 201

Глава 4.  Приложения субъективного моделирования в научных
исследованиях ................................................. 203
Введение ...................................................... 203
4.1  Статистическая идентификация состояний неопределенного
     стохастического объекта .................................. 205
     4.1.1. Оптимальные неопределенные правила идентификации .. 206
4.2  Субъективное моделирование вероятностной случайности ..... 209
     4.2.1. Дискретная вероятностная модель ................... 209
     4.2.2. Абсолютно непрерывная вероятностная модель ........ 214
     4.2.3. Субъективная модель вероятностной случайности в
            третьем варианте мер правдоподобия и доверия ...... 216
4.3  Энтропии шенноновского типа субъективных распределений
     правдоподобий и доверий значений неопределенного
     элемента ................................................. 220
     4.3.1. Энтропия как усредненная мера неопределенности/
            информативности случайного исхода испытания ....... 220
     4.3.2. Энтропии субъективных распределений
            неопределенного элемента, моделирующего
            неопределенные высказывания м.-и., как меры их
            информативности/неопределенности .................. 222
     4.3.3. Энтропии распределений неопределенного элемента
            х в третьем варианте .............................. 224
4.4  Субъективная модель измерительного эксперимента. Анализ
     и интерпретация данных ................................... 227
4.5  Идентификация состояний неопределенного нечеткого
     объекта. Оптимальное субъективное правило идентификации .. 230
4.6  Экспертное построение распределений неопределенного и
     неопределенного нечеткого элементов ...................... 232
     4.6.1. Экспертное построение распределения
            неопределенного элемента .......................... 232
     4.6.2. Экспертное построение распределения
            неопределенного нечеткого элемента ................ 234
Заключение .................................................... 236

Глава 5.  Субъективные модели, косые проекторы и оптимальные
решения в морфологии изображений .............................. 238
Введение ...................................................... 238
5.1  Элементы морфологического анализа ........................ 239
5.2  Форма изображения и класса изображений ................... 239
5.3  Косое проецирование ...................................... 241
5.4  Субъективная морфологическая модель ...................... 243
5.5  Относительные формы как косые проекторы .................. 246
5.6  Нелокальный метод выделения объекта ...................... 248
5.7  Примеры задач морфологической оптимизации ................ 250
Заключение .................................................... 256

Список литературы ............................................. 257