Introduction ................................................... IX
Chapitre 1. Préliminaires ....................................... i
1.1. Rappels .................................................... 1
1.1.1. Notations ........................................... 1
1.1.2. Espaces fonctionnels ................................ 2
1.1.3. Le produit de convolution ........................... 3
1.2. Transformation d'intégrales ................................ 3
1.3. Un outil essentiel: la transformée de Fourier .............. 9
1.3.1. La représentation de Fourier des fonctions
périodiques ......................................... 9
1.3.2. La transformée de Fourier .......................... 12
Chapitre 2. Modèles physiques et EDP ........................... 19
2.1. équation de transport ..................................... 19
2.2. Quelques modèles en électromagnétisme ................ 20
2.3. équation de la chaleur ............................... 23
2.4. équation de Burgers et lois de conservation .......... 27
2.5. Système d'Euler des gaz compressibles ................ 29
Chapitre 3. Solutions d'EDP classiques ......................... 33
3.1. équation de transport ..................................... 33
3.1.1. Le cas scalaire à coefficients constants ........... 33
3.1.2. Le cas de vitesses non constantes .................. 36
3.1.3. L'équation de transport dans un domaine borné ...... 38
3.1.4. équations de transport plus générales .............. 41
3.2. équation de Laplace ....................................... 45
3.2.1. L'équation de Laplace dans un rectangle ............ 46
3.2.2. L'équation de Laplace sur un disque ................ 49
3.2.3. Un résultat d'unicité .............................. 53
3.3. équation des ondes ........................................ 53
3.3.1. Résolution explicite dans le cas unidimensionnel ... 54
3.3.2. Solution en dimensions d'espace supérieures ........ 59
3.3.3. Un résultat d'unicité .............................. 64
3.4. équation de la chaleur .................................... 65
3.4.1. Solutions dans l'espace entier ..................... 65
3.4.2. Solutions sur un domaine borné ..................... 71
3.4.3. L'équation de la chaleur sur une bande ............. 74
3.4.4. Le principe du maximum ............................. 76
3.5. équation de Schrödinger ................................... 77
3.5.1. Solutions dans l'espace entier ..................... 77
3.5.2. L'équation de Schrödinger sur un domaine borné ..... 80
3.6. équation de Burgers ....................................... 81
3.6.1. La méthode des caractéristiques .................... 82
3.6.2. Exemples de résolution ............................. 83
3.6.3. Limitation de la méthode des caractéristiques ...... 86
3.7. équations aux dérivées partielles bien posées ............. 87
3.7.1. équations du premier ordre en temps ................ 87
3.7.2. équations du second ordre en temps ................. 89
Chapitre 4. Schémas aux différences finies pour les EDP ........ 91
4.1. Principe des différences finies ........................... 91
4.2. Consistance, ordre de précision et convergence ............ 95
4.3. Stabilité l2 et analyse de Fourier ........................ 96
4.3.1. Le concept de stabilité ............................ 96
4.3.2. Analyse de Fourier pour les suites de l2 ........... 97
4.3.3. Stabilité pour des schémas à un pas ................ 98
4.3.4. Stabilité pour des schémas multipas ............... 106
4.3.5. Manifestation numérique de l'instabilité .......... 107
4.4. Le théorème de Lax-Richtmyer ............................. 109
4.4.1. Préliminaires ..................................... 109
4.4.2. Le théorème d'équivalence de Lax-Richtmyer ........ 112
4.4.3. Estimation d'erreur ............................... 116
4.5. Dissipativité d'un schéma aux différences finies ......... 117
4.6. Dispersion d'un schéma aux différences finies ............ 119
4.7. Le problème des conditions aux limites ................... 123
4.8. Différences finies pour l'équation de Poisson ............ 125
4.8.1. Le cas unidimensionnel ............................ 126
4.8.2. Le cas bidimensionnel ............................. 127
4.8.3. Une estimation d'erreur générale .................. 131
Chapitre 5. Méthodes d'éléments finis pour les EDP ............ 135
5.1. Principe général ......................................... 135
5.2. Le théorème de Lax-Milgram ............................... 137
5.3. Distributions ............................................ 139
5.3.1. Fonctions test .................................... 139
5.3.2. Définition des distributions ...................... 140
5.3.3. Dérivées des distributions ........................ 142
5.4. Espaces de Sobolev ....................................... 145
5.4.1. L'espace H1(Ω) .................................... 145
5.4.2. L'espace H10(Ω) ................................... 151
5.4.3. Espaces Hm(Ω) ..................................... 153
5.5. Principe des éléments finis .............................. 154
5.6. Application à l'équation de Poisson ...................... 158
5.6.1. étude de la formulation variationnelle ............ 158
5.6.2. En dimension 1 d'espace ........................... 160
5.6.3. En dimension 2 d'espace ........................... 161
5.7. Approximations d'ordre plus élevé ........................ 162
5.8. Autres types de conditions aux limites ................... 166
5.9. Estimations d'erreur ..................................... 168
5.9.1. Une estimation générale ........................... 168
5.9.2. Approximations dans les espaces de Sobolev ........ 169
5.9.3. Une estimation précisée de l'erreur ............... 172
5.10 Problèmes non stationnaires .............................. 173
Chapitre 6. Volumes finis pour des lois de conservation ....... 177
6.1. Nécessité d'une formulation faible ....................... 177
6.2. Solution faible d'une loi de conservation ................ 179
6.3. Le problème de Riemann pour une loi de conservation ...... 184
6.4. La condition d'entropie .................................. 186
6.5. Schémas aux volumes finis ................................ 189
6.5.1. Le schéma de Godunov .............................. 190
6.5.2. Le schéma de Roe .................................. 191
6.6. Dimensions d'espace supérieures .......................... 194
6.7. Un exemple de système hyperbolique ....................... 196
Chapitre 7. Méthodes itératives pour les systèmes
linéaires ......................................... 201
7.1. Analyse matricielle ...................................... 201
7.2. Méthodes itératives ...................................... 204
7.2.1. Principe général .................................. 204
7.2.2. Analyse de convergence ............................ 205
7.3. Méthodes de gradient ..................................... 208
7.3.1. La méthode du gradient à pas optimal .............. 209
7.3.2. La méthode du gradient conjugué ................... 212
Chapitre 8. Repères historiques ............................... 215
Bibliographie ................................................. 217
Index ......................................................... 219
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